资产价格方程

第一步：理解一般形式（8A-11）

一般形式的资产定价方程为：

经济解释：

• 第一项：$-q_{(s, t)} \, p_{n}(s, t)$ 表示在状态 $(s, t)$ 购买资产所花费的当前价值。
• 第二项：$\sum_{z} q_{(z, t+1)} \, p_{n}(z, t+1)$ 表示所有可能后继状态资产价值的当前价值之和。
• 等式为零是无套利条件的体现：购买资产的成本现值等于其未来所有可能价值的期望现值。

第二步：将一般形式应用到单期模型

我们的例子是一个简单的单期模型：

• 时间点：$t = 0$（现在）和 $t = 1$（一个月后）。
• 在 $t = 0$，只有一个状态，记为 $s_{0}$。
• 在 $t = 1$，有两个可能状态：$UP$ 和 $DOWN$，即 $\Omega(s_{0}) = \{ UP, \, DOWN \}$。

在这个设定下，一般形式 $(8A-11)$ 中的 $(s, t)$ 特指初始状态 $(s_{0}, 0)$。

第三步：推导无风险资产的方程（8A-19）

令资产 $n$ 为无风险资产。

1. 在状态 $(s_{0}, 0)$:

   • 价格 $p_{\text{无风险}}(s_{0}, 0) = 1$（以1美元为单位）。
   • 对应的状态价格为 $q_{(s_{0}, 0)}$，在书中记为 $q_{0}$。

2. 在后续状态 $z \in \{ UP, \, DOWN \}$:

   • 无风险资产在 $t=1$ 时刻的回报均为 $R_{f} = 1.00487$，即 $p_{\text{无风险}}(z, 1) = R_{f}$。
   • 对应的状态价格为 $q_{(z, 1)}$，在书中记为 $q_{UP}$ 和 $q_{DOWN}$。

3. 代入一般形式（8A-11）： 将具体值代入方程 $-q_{(s,t)} \, p_{n}(s,t) + \sum_{z} q_{(z,t+1)} \, p_{n}(z,t+1) = 0$：

   $$- q_{0} \times 1 + \left( q_{UP} \times R_{f} + q_{DOWN} \times R_{f} \right) = 0$$

   简化后得到：

   $$-q_{0} + R_{f} \, (q_{UP} + q_{DOWN}) = 0$$

   移项后，得到书中的方程（8A-19）：

   $$q_{0} - (q_{UP} \cdot R_{f} + q_{DOWN} \cdot R_{f}) = 0$$

   （注：关于 $q_{DOWN}$ 前的符号，其核心经济含义是 $q_{0} = R_{f} (q_{UP} + q_{DOWN})$，即无风险资产的定价约束。）

第四步：推导风险资产（股票）的方程（8A-20）

令资产 $n$ 为股票。

1. 在状态 $(s_{0}, 0)$:

   • 价格 $p_{\text{股票}}(s_{0}, 0) = 50$。
   • 对应的状态价格仍为 $q_{0}$。

2. 在后续状态 $z \in \{ UP, \, DOWN \}$:

   • 在 $UP$ 状态，股票价格 $p_{\text{股票}}(UP, 1) = 53$，状态价格为 $q_{UP}$。
   • 在 $DOWN$ 状态，股票价格 $p_{\text{股票}}(DOWN, 1) = 49$，状态价格为 $q_{DOWN}$。

3. 代入一般形式（8A-11）： 将具体值代入方程：

   $$- q_{0} \times 50 + \left( q_{UP} \times 53 + q_{DOWN} \times 49 \right) = 0$$

   移项后，得到书中的方程（8A-20）：

   $$q_{0} \cdot 50 - (q_{UP} \cdot 53 + q_{DOWN} \cdot 49) = 0$$

   （同样，其核心是 $50 \, q_{0} = 53 \, q_{UP} + 49 \, q_{DOWN}$，即股票的无套利定价约束。）

推导 $v_{UP}$ 和 $v_{DOWN}$ 的表达式

风险中性概率的表达式

从风险中性概率的定义公式（ (8A-15) 在单期模型下的形式）：

其中 $1 + i_F = R_f$，所以：

推导估值乘子表达式

由 (8A-18) 可得:

将 (B) 式代入 (A) 式：

直接得到：

对于上涨和下跌状态：

这就是我们要求的正确形式的估值乘子表达式。

解方程求最终结果

第一步：从方程组中求出 $\frac{q_{UP}}{q_0}$ 和 $\frac{q_{DOWN}}{q_0}$

我们不需要单独求出 $q_0, q_{UP}, q_{DOWN}$，只需要求出它们的比值 $\frac{q_{UP}}{q_0}$ 和 $\frac{q_{DOWN}}{q_0}$，因为估值乘子公式中只依赖于这些比值。

将方程组 (1) 和 (2) 两边同时除以 $q_0$（因为 $q_0 > 0$，可以这样操作）：

令 $x = \frac{q_{UP}}{q_0}$, $y = \frac{q_{DOWN}}{q_0}$，则方程组变为：

第二步：求解比值 $x$ 和 $y$

由方程 (1')：

由方程 (2')：

现在解方程组 (3) 和 (4)：

从 (3) 得：$y = \frac{1}{R_f} - x$

代入 (4)：

代入 $R_f = 1.00487$：

现在求 $y$：

所以：

第三步：代入估值乘子公式

现在代入正确的估值乘子公式：